Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3．
（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x），x∈[t，4]的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的图象与性质，得出f（x）=0在[-1，1]上有实根时，

f(-1)＞0 f(1)＜0

，求出a的取值范围；
（2）讨论t的取值，求出f（x）在[t，4]的最值，得出值域以及区间长度d，令7-2t=d，解出t的值，判定是否满足条件即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-4x+a+3；
∴f（x）的对称轴是 x=2；
∴f（x）在[-1，1]上是单调减函数；
∵f（x）=0在[-1，1]上有实数根；
∴

f(-1)＞0 f(1)＜0

；
即

1+4+a+3＞0 1-4+a+3＜0

；
解得-8＜a＜0；
∴a的取值范围是（-8，0）．
（2）∵f（x）=x²-4x+a+3图象的对称轴是 x=2，
当t≤2时，f（x）在[t，4]的最小值是f（2）=a-1，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（a-1）=4，
令7-2t=4，解得t=

3

2

，满足条件；
当2＜t＜4时，f（x）在[t，4]的最小值是f（t）=t²-4t+a+3，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（t²-4t+a+3）=-t²+4t，
令7-2t=-t²+4t，解得t=3+

2

，或t=3-

2

，不满足条件；
综上，当t=

3

2

时，满足题目中的条件．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用以及分类讨论的问题，是易错题．