Question

9．在△ABC中，E为AC上一点，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，P为BE上任一点，若$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}（{m＞0，n＜0}）$，则$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$的最小值是（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 利用向量共线定理可得：m+3n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$=$m\overrightarrow{AB}$+$3n\overrightarrow{AE}$，
∵P为BE上任一点，∴m+3n=1．
∴$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=（m+3n）$（\frac{3}{m}+\frac{1}{n}）$=3+3+$\frac{9n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥$6+2\sqrt{\frac{9n}{m}•\frac{m}{n}}$=12，当且仅当m=3n=$\frac{1}{2}$时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．