Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=a_n²-ka_n+k，（k∈R），a₁，a₂，a₃分别是公差不为零的等差数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求证：对任意的n∈N^*，b_n，b_2n，b_4n不可能成等比数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁=2可得a₂、a₃．利用2a₂=a₁+a₃，即得结论．
（Ⅱ）用反证法证明即可．

解答 （Ⅰ）解：∵a₁=2，
∴a₂=4-k，a₃=2k²-11k+16．
又∵2a₂=a₁+a₃，
∴2k²-9k+10=0，
解得k=2或$\frac{5}{2}$．
又∵{b_n}的公差不为零，
∴k=$\frac{5}{2}$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，bn=$\frac{5-n}{2}$．
假如b_n，b_2n，b_4n成等比数列，
则b_nb_4n=b_2n²．
代入化简得：（5-n）（5-4n）=（5-2n）²，
解得n=0．与n∈N^*矛盾，
故b_n，b_2n，b_4n不可能成等比数列．

点评 本题考查等差数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．