Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，F是AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过PA⊥平面ABCD可得DF⊥PA，通过底面ABCD是菱形、∠BAD=60°、F是AB的中点，可得DF⊥AB，利用线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）以A为坐标原点，以AD、AP所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则所求角的余弦值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB是正三角形，
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB，
又PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DF⊥平面PAB，
又∵DF?平面PDF，
∴平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AD、AP所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图，
则P（0，0，1），C（$\sqrt{3}$，3，0），D（0，2，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
由（I）知DF⊥平面PAB，
∴$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0）是平面PAB的一个法向量，
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，
取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DF}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DF}|}|$=$\frac{1}{2}$，
∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查空间中面面垂直的判定，考查求二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．