Question

13．设点P、Q分别是曲线y=xe^-x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 对曲线y=xe^-x进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．

解答 解：∵点P是曲线y=xe^-x上的任意一点，和直线y=x+3上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xe^-x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离．
由y′=（1-x）e^-x ，令y′=（1-x）e^-x =1，解得x=0，
当x=0，y=0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y=x+3的距离，
∴d_min=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．