Question

15．已知抛物线y²=8x，P为其上一点，点N（5，0），点M满足|$\overrightarrow{MN}$|=1，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=0，则|$\overrightarrow{MP}$|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 4
• C． $\sqrt{23}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{MN}$|=1，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=0，可得M在以N（5，0）为圆心，1为半径的圆上，$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MP}$，即MP为圆的切线，由勾股定理和两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到所求最小值．

解答 解：由|$\overrightarrow{MN}$|=1，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
可得M在以N（5，0）为圆心，1为半径的圆上，
$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MP}$，即MP为圆的切线，
由勾股定理可得|MP|²=|NP|²-|MN|²
=|NP|²-1，
要求|MP|的最小值，只要求|NP|的最小值．
设P（$\frac{1}{8}$n²，n），则|NP|=$\sqrt{（\frac{1}{8}{n}^{2}-5）^{2}+{n}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{64}（{n}^{2}-8）^{2}+24}$，
当n²=8即n=$±2\sqrt{2}$时，|NP|取得最小值，且为2$\sqrt{6}$，
即有|MP|取得最小值$\sqrt{23}$．
故选C．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，同时考查直线和圆的位置关系，以及向量的垂直和勾股定理的运用，二次函数的最值求法，属于中档题．