Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设点P在线段CC₁上，直线BP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{2}}{2}$，1]

Answer 1

分析 设正方体的棱长等于1，建立如图空间直角坐标系，得出D、B、C₁、A₁各点的坐标，从而得出$\overrightarrow{{BC}_{1}}$、$\overrightarrow{{A}_{1}D}$、$\overrightarrow{BD}$ 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出平面A₁BD的一个法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，利用向量的夹角公式算出sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{n}$＞|的值，即得直线BP与平面A₁BD所成角的正弦值，根据直线BP与平面A₁BD所成角的正弦值的平方的范围，从而得到sinθ的取值范围．

解答 解：分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立如图
所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
A₁（1，0，1），
∴$\overrightarrow{{BC}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁BD的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得y=z=-1，
∴平面A₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）．
设直线BP与平面A₁BD所成角为θ，θ∈（ 0，$\frac{π}{2}$]，
设P（0，1，m），则由题意可得m∈[0，1]，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}•\sqrt{3}}$|=$\frac{m+1}{\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
sin²θ=$\frac{{m}^{2}+2m+1}{3{（m}^{2}+1）}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$•$\frac{m}{{m}^{2}+1}$，
故sin²θ≥$\frac{1}{3}$，sin²θ≤$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$•$\frac{m}{2m}$=$\frac{2}{3}$，即sin²θ∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]，
∴sinθ∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
故选：A．

点评 本题给出正方体模型，求直线与平面所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．