Question

7．设函数f（x）=x²lnx，$g（x）=\frac{x}{e^x}$，若存在x₁∈[e，e²]，x₂∈[1，2]，使得e³（k²-2）g（x₂）≥kf（x₁）成立（其中e为自然对数的底数），则正实数k的取值范围是（　　）

• A． k≥2
• B． 0＜k≤2
• C． $k≥\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$
• D． $0＜k≤\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得f（x）在[e，e²]的最小值，求出g（x）的导数，判断g（x）在[1，2]的单调性，求得最大值，由存在性的结论可得e³（k²-2）g（x₂）_max≥kf（x₁）_min，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=x²lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x，
当x∈[e，e²]，f′（x）＞0，f（x）在[e，e²]递增，
即有f（e）为最小值，且为e²；
$g（x）=\frac{x}{e^x}$的导数为g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
当x∈[1，2]，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]递减，
即有g（1）取得最大值，且为$\frac{1}{e}$．
由题意可得e³（k²-2）g（x₂）_max≥kf（x₁）_min，
即为e²（k²-2）≥ke²，
由k²-k-2≥0，
结合k＞0，可得k≥2．
故选A．

点评 本题考查导数的运用：求最值，主要考查函数的单调性的运用，注意不等式存在性问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．