【题目】在平面直角坐标系中,已知点,直线
,动直线
垂直
于点
,线段
的垂直平分线交
于点
,设点
的轨迹为
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)以曲线上的点
为切点做曲线
的切线
,设
分别与
、
轴交于
两点,且
恰与以定点
为圆心的圆相切.当圆
的面积最小时,求
与
面积的比.
【答案】(I);(II)
.
【解析】分析:(I)由,根据抛物线的定义,点
的轨迹是以
为准线,
为焦点的抛物线,即可求得抛物线方程;(II)求直线
的斜率,解法一,联立直线
的方程与抛物线的方程,根据
,即可求得直线
的斜率;解法二,当
时,
,求导,即可求得切线斜率,然后利用点斜式方程即可求得切线方程,取得
和
点坐标,利用点到直线的距离公式,根据基本不等式的性质,当
时,满足题意的圆
的面积最小,求得
和
点坐标,利用三角形的面积公式即可求得△
与△
面积的比.
详解:(Ⅰ)由题意得,
点
到直线
的距离等于它到定点
的距离,
点
的轨迹是以
为准线,
为焦点的抛物线,
点
的轨迹
的方程为
(Ⅱ)解法一:由题意知切线的斜率必然存在,设为
,则
.
由 ,得
,即
,由
,得到
.
∴,
解法二:由,当
时,
.
以
为切点的切线
的斜率为
以
为切点的切线为
,即
,整理
.
令则
.
令则
.
点到切线
的距离
(当且仅当
时,取等号).
∴ 当时,满足题意的圆
的面积最小.
∴,
.
∴,
.
∴.
△
与△
面积之比为
.
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【题目】下列有关线性回归分析的四个命题:
①线性回归直线必过样本数据的中心点();
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线;
③当相关性系数时,两个变量正相关;
④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数就越接近于
.
其中真命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数,
.
(1)当时,函数
,
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(2)当函数在定义域内不单调时,求证:
;
(3)是否存在实数,使得对任意
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,请求出最大整数
的值;若不存在,请说理由.(参考数据:
,
)
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【题目】设函数,
.
(1)当时,函数
,
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(2)当函数在定义域内不单调时,求证:
;
(3)是否存在实数,使得对任意
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,请求出最大整数
的值;若不存在,请说理由.(参考数据:
,
)
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【题目】已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路,一艘游轮以的速度航行时
考虑到航线安全要求
,每小时使用的燃料费用为
万元
为常数,且
,其他费用为每小时
万元.
若游轮以
的速度航行时,每小时使用的燃料费用为
万元,要使每小时的所有费用不超过
万元,求x的取值范围;
求该游轮单程航行所需总费用的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.
(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).
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【题目】在某中学举行的电脑知识竞赛中,将高一年级两个班参赛的学生成绩进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一,第三,第四,第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.
(1)补齐图中频率分布直方图,并求这两个班参赛学生的总人数;
(2)利用频率分布直方图,估算本次比赛学生成绩的平均数和中位数.
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【题目】下面给出了2010年亚洲某些国家的国民平均寿命单位:岁
.
国家 | 平均寿命 | 国家 | 平均寿命 | 国家 | 平均寿命 |
阿曼 | 阿富汗 | 59 | 巴基斯坦 | ||
巴林 | | 阿联酋 | 马来西亚 | ||
朝鲜 | 东帝汶 | 孟加拉国 | |||
韩国 | 柬埔寨 | 塞浦路斯 | |||
老挝 | 卡塔尔 | 沙特阿拉伯 | |||
蒙古 | 科威特 | | 哈萨克斯坦 | ||
缅甸 | 菲律宾 | 印度尼西亚 | |||
日本 | 黎巴嫩 | 土库曼斯坦 | 65 | ||
泰国 | 尼泊尔 | 68 | 吉尔吉斯斯坦 | ||
约旦 | 土耳其 | 乌兹别克斯坦 | |||
越南 | 75 | 伊拉克 | 也门 | ||
中国 | 以色列 | 文莱 | |||
伊朗 | 74 | 新加坡 | 叙利亚 | ||
印度 |
根据这40个国家的样本数据,得到如图所示的频率分布直方图,其中样本数据的分组区间为:
,
,
,
,
,
请根据上述所提供的数据,求出频率分布直方图中的a,b;
请根据统计思想,利用
中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数
保留一位小数
.
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