Question

已知数列的前三项分别为，，，（其中为正常数）。设。
（1）归纳出数列的通项公式，并证明数列不可能为等比数列；
（2）若=1，求的值；
（3）若=4，试证明：当时，．

Answer 1

（1），证明详见解析；（2）；（3）详见解析.

解析试题分析：（1）根据条件中给出的的表达式，可以归纳出数列的通项公式为，证明不可能为等比数列可以考虑采用反证法来证明，假设为等比数列，可以得到与事实不符的等式，从而得证；（2）若时， ∴，
∴，利用错位相减法进行数列求和，即可得到f(2)的表达式；（3）当=4，欲证当时，，即证，尝试采用分析法，从要证明的不等式出发，执果索因，即可得证
（1）数列的通项公式为              2分
下面证明数列不可能为等比数列：
假设数列为等比数列，则，即（），
即，两边平方整理得：4=0，矛盾，
故数列不可能为等比数列             5分
（2）若，，∴ ，∴，
∴ ①
 ②
①-②得
∴          9分
（3）若=4，
法一：当时，欲证 ，
只需证
只需证
只需证 
只需证 
只需证 
显然 不等式成立，
因此 当时，．                            14分
法二：


， ，
故．
考点： 1、数学归纳法；2、反证法；3、错位相减法进行数列求和；4、分析法证明不等式.