Question

已知向量

a

=（sinx，1），

b

=（cosx，

1

2

）
（1）当

a

⊥

b

时，求|

a

+

b

|的值；
（2）求函数f（x）=

a

-（2

b

-

a

）+cos²x的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量坐标的数量积即可求得当

a

⊥

b

时，求|

a

+

b

|的值；
（2）利用向量的坐标运算与三角函数中的恒等变换可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-2，利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）=

a

-（2

b

-

a

）+cos²x的单调增区间．

解答：解：（1）当

a

⊥

b

时，|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=sin²x+1+cos²x+

1

4

=

9

4

，
∴|

a

+

b

|=

3

2

…（4分）
（2）f（x）=

a

-（2

b

-

a

）+cos²x=2sinxcosx-1-sin²x-1+cos²x
=sin2x+cos2x-2
=

2

sin（2x+

π

4

）-2…（8分）
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（x）单调递增，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换，求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-2是关键，属于中档题．