Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为

1

3

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用长轴长等于12，离心率为

1

3

，求出椭圆的几何量，从而可求椭圆的标准方程；
（2）法一：利用求轨迹方程的一般方法求解；法二：利用抛物线的定义求解．

解答：解：（1）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c．
由已知，2a=12，所以a=6．（2分）
又

c

a

=

1

3

，即a=3c，
所以3c=6，即c=2．（4分）
于是b²=a²-c²=36-4=32．
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程是

x2

36

+

y2

32

=1．（6分）
（2）法一：因为a=6，所以直线l的方程为x=-6，
又c=2，所以右焦点为F₂（2，0）
过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF₂|=|MH|-4．
设点M（x，y），则

(x-2)2+y2

=(x+6)-4=x+2．（8分）
两边平方，得（x-2）²+y²=（x+2）²，即y²=8x．（10分）
故点M的轨迹方程是y²=8x．（12分）
法二：因为a=6，c=2，所以a-c=4，从而椭圆左焦点F₁到直线l的距离为4．（8分）
由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x=-2的距离相等，
所以点M的轨迹是以右焦点为F₂（2，0）为焦点，直线x=-2为准线的抛物线．（10分）
显然抛物线的顶点在坐标原点，且p=|F₁F₂|=4，
故点M的轨迹方程是y²=8x．（12分）

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．