Question

10．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx$
（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最值．
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=$\frac{2}{3}{x^3}$的下方．
（3）设h（x）=f'（x），求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可；
（2）设F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+lnx-\frac{2}{3}{x^3}$，求出函数的导数，根据函数的单调性求出F（x）＜F（1），证明结论即可；
（3）根据数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）f'（x）=$x+\frac{1}{x}$，当x在区间[1，e]上，f'（x）＞0恒成立，
所f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以f（x）_max=f（e）=$\frac{{e}^{2}}{2}$+1，$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}$，…（3分）
（2）证明：设F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+lnx-\frac{2}{3}{x^3}$，
则F′（x）=$\frac{（1-x）（{2x}^{2}+x+1）}{x}$，
因为x＞1，所以F′（x）＜0，所以函数F（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
又F（1）=$-\frac{1}{6}$＜0，所以F（x）＜F（1）=$-\frac{1}{6}$＜0，即$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$，
所以函数f（x）的图象在函数g（x）=$\frac{2}{3}{x^3}$的下方．…（6分）
（3）证明：可知x＞0．
当n=1时，不等式成立
当n≥2时，${[{h（x）}]^n}-h（{x^n}）={（x+\frac{1}{x}）^n}-（{x^n}+\frac{1}{x^n}）$
=$\frac{1}{2}[{C_n^1（{x^{n-2}}+\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）+C_n^2（{x^{n-4}}+\frac{1}{{{x^{n-4}}}}）+…+C_n^{n-1}（{x^{n-2}}+\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）}]$
≥$C_n^1$+$C_n^2$+…+$C_n^{n-1}$=2ⁿ-2，
所以[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．