Question

3．近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占$\frac{3}{5}$，采用微信支付的占$\frac{2}{3}$，40岁以上采用微信支付的占$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）请完成下面2×2列联表：

	40岁以下	40岁以上	合计
使用微信支付
未使用微信支付
合计

并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？
（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．
参考数据：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.760	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由40岁以下的有100×$\frac{3}{5}$=60人，使用微信支付的有60×$\frac{2}{3}$=40人，40岁以上使用微信支付有40×$\frac{1}{4}$=10人．即可完成2×2列联表，根据2×2列联表求得观测值K²与参考值对比即可求得答案；
（Ⅱ）分别求得“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付的概率，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付的概率，根据独立事件的概率公式，即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，40岁以下的有100×$\frac{3}{5}$=60人，使用微信支付的有60×$\frac{2}{3}$=40人，40岁以上使用微信支付有40×$\frac{1}{4}$=10人．
∴2×2列联表为：

	40岁以下	40岁以上	合计
使用微信支付	40	10	50
未使用微信支付	20	30	50
合计	60	40	100

由列联表中的数据计算可得K²的观测值为k=$\frac{100×（40×30-20×10）^{2}}{60×40×50×50}$=$\frac{50}{3}$，由于$\frac{50}{3}$＞10.828，
∴有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”；…（5分）
（Ⅱ） 若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为A，B，
则P（A）=P（B）=$\frac{2}{3}$，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C，则P（C）=$\frac{1}{4}$，
显然A，B，C相互独立，
则至少有一人使用微信支付的概率为P=1-P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$）=1-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{11}{12}$．
故至少有一人使用微信支付的概率为$\frac{11}{12}$．…（12分）

点评 本题考查独立性检验的应用，独立事件的概率公式，考查计算能力，属于中档题．