Question

18．已知数列{a_n}的通项${a_n}={2^n}cos（{nπ}）$，则a₁+a₂+…+a₁₀₀=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{{2-{2^{101}}}}{3}$
• C． 2-2¹⁰¹
• D． $\frac{2}{3}（{{2^{100}}-1}）$

Answer 1

分析 推导出${a}_{n}=（-2）^{n}$，由此利用等比数列前n项和公式能求出a₁+a₂+…+a₁₀₀．

解答 解：∵数列{a_n}的通项${a_n}={2^n}cos（{nπ}）$，
∴a₁=2cosπ=-2，
${a}_{2}={2}^{2}$cos2π=2²，
${a}_{3}={2}^{3}cos3π=-{2}^{3}$，
${a}_{4}={2}^{4}cos4π={2}^{4}$，
∴${a}_{n}=（-2）^{n}$，
a₁+a₂+…+a₁₀₀=$\frac{-2[1-（-2）^{100}]}{1-（-2）}$=$\frac{2}{3}$（2¹⁰⁰-1）．
故选：D．

点评 本题考查数列的前100项和的求法，考查余弦函数、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．