Question

4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=$\frac{2}{3}$c²，则直线ax+by-c=0被圆x²+y²=4所截得的弦长为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由题意可得圆心和半径，结合勾股定理和点到直线的距离和圆的弦长公式可得．

解答 解：x²+y²=4的圆心为（0，0），半径为2，
∵a²+b²=$\frac{2}{3}$c²，∴圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离d=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴弦长l=2$\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，属基础题．