Question

已知函数f（x）=2e^x-（x-a）²+3，a∈R．
（1）若函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）若x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行得到f′（0）=2（a+1）=0，从而求得a的值；
（2）对原函数的导函数求导，得到原函数的导函数的导数在[0，+∞）恒大于等于0，说明原函数的导函数在[0，+∞）内单调递增，求得导函数的最小值g（0）=2（1+a）．然后对g（0）大于等于0和小于0分类，
当2（1+a）≥0时原函数的导函数横大于等于0，原函数在[0，+∞）内单调递增，求出最小值，由最小值大于等于0求解a的取值范围；当2（1+a）＜0时，设出导函数的零点，通过分析原函数的导函数的符号得到f（x）在导函数的零点处取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3，结合x0=ex0+a进一步求出f（x₀），由f（x₀）≥0求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由f（x）=2e^x-（x-a）²+3，得：
f′（x）=2（e^x-x+a），
∵y=f（x）在x=0处切线与x轴平行，即在x=0切线斜率为0，
即f′（0）=2（a+1）=0，
∴a=-1；
（2）f′（x）=2（e^x-x+a），
令g（x）=2（e^x-x+a），则g′（x）=2（e^x-1）≥0，
∴g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）内单调递增，g（0）=2（1+a）．
（i）当2（1+a）≥0，即a≥-1时，f′（x）=2（e^x-x+a）≥f′（0）≥0，f（x）在
[0，+∞）内单调递增，要想f（x）≥0，只需要f（0）=5-a²≥0，
解得-

5

≤a≤

5

，从而-1≤a≤

5

．
（ii）当2（1+a）＜0，即a＜-1时，
由g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）内单调递增知，
存在唯一x₀使得g(x0)=2(ex0-x0+a)=0，有ex0=x0-a，
令f′（x₀）＞0，解得x＞x₀，
令f′（x₀）＜0，解得0≤x＜x₀，
从而f（x）在x=x₀处取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3，
又x0=ex0+a，
f(x0)=2ex0-(ex0)2+3=-(ex0+1)(ex0-3)，
从而应有f（x₀）≥0，即
ex0-3≤0，解得0＜x₀≤ln3，
由ex0=x0-a可得a=x0-ex0，
有ln3-3≤a＜-1．
综上所述，ln3-3≤a≤

5

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（2）中的恒成立问题，涉及到对原函数的导函数二次求导分析导函数的单调性，使问题的难度更大，特别是当导函数的最小值小于0时，如何借助于导函数的零点分析原函数的最小值，更是大多数学生难以逾越的地方，属难度较大的题目．