Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且满足b₁=a₂，3b₃=b₄．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列{a_n}的通项公式，确定等比数列的首项与公比可求结论；
（2）利用错位相减法，即可求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由已知S_n=n²得a₁=S₁=1                                 （1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1                        （3分）
所以a_n=2n-1                                               （4分）
由已知b₁=a₂=3，设等比数列{b_n}的公比为q，由3b₃=b₄得q=3，
故bn=3n                                                        （7分）
（2）设数列{a_n•b_n}的前n项和T_n，
则T_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）•3ⁿ                         （8分）
3T_n=1×3²+3×3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹（10分）
两式相减得-2T_n=1×3+2×3²+…+2×3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=-2（3n-2）•3ⁿ （13分）
所以T_n=（3n-2）•3ⁿ                                            （14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．