Question

设f(x)＝－x³＋x²＋2ax.

(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．

Answer 1

解析　(1)由f′(x)＝－x²＋x＋2a＝－²＋＋2a，

当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；令＋2a＞0，得a＞－.

所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围是

(2)令f′(x)＝0，得两根x₁＝，x₂＝.

所以f(x)在(－∞，x₁)，(x₂，＋∞)上单调递减，

在(x₁，x₂)上单调递增．

当0＜a＜2时，有x₁＜1＜x₂＜4，

所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x₂)，

又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．

所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.

得a＝1，x₂＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.