Question

15．（1）已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知x＞1，求f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$最小值．

Answer 1

分析 （1）对于任意x∈[1，+∞），函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$＞0转化为x²+2x+a＞0，分离参数求解即可．
（2）x＞1，f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1利用基本不等式求解．

解答 解：（1）由题意：对于任意x∈[1，+∞），
函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$＞0转化为x²+2x+a＞0恒成立．
只需：（x²+2x）_min＞-a即可．
由二次函数的图象及性质可知：x∈[1，+∞）上y=x²+2x是单调增函数，
故得：（x²+2x）_min=3．
所以：3＞-a，即a＞-3．
故得实数a的取值范围是（-3，+∞）．
（2）已知x＞1，
∴x-1＞0，
那么：f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1，
∵（x-1）+$\frac{1}{x-1}$≥$2\sqrt{（x-1）×\frac{1}{x-1}}$，
当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2时取等式．
∴f（x）的最小值为2+1=3．

点评 本题考查了恒成立问题，将恒成立问题转化为不等式问题求解．转化思想．利用解不等式的性质求解最值问题．属于基础题．