Question

2．如图阴影部分是由曲线y=2x²和x²+y²=3及x轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{π}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• B． $\frac{π}{2}-\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$
• C． $\frac{3π}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{3π}{2}-\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 首先求出曲线的交点，然后求直线y=$\sqrt{3}$x与y=2x²围成的面积S₁，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB的面积S₂，阴影部分的面积S=S₂-S₁=$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

解答 解：曲线y=2x²和圆x²+y²=3的在第一象限的交点为A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则直线OA的方程方程为：y=$\sqrt{3}$x，
∴直线OA与抛物线y=2x²所围成的面积S₁=${∫}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$（$\sqrt{3}$x-2x²）dx=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{2}{3}$x³）${丨}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$-$\frac{2}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
则扇形AOB圆心角为α=$\frac{π}{3}$，则扇形AOB的面积S₂=$\frac{1}{2}$αr²=$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$×3=$\frac{π}{2}$，
∴阴影部分的面积S=S₂-S₁=$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
故选A．

点评 本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分表示面积，属于中档题．