Question

11．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₂，a₃是方程x²-6x+8=0的两根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2n•a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出数列的公比，然后求解数列的通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和即可．

解答 解：（1）方程x²-6x+8=0的两根分别为2，4，依题意得a₂=2，a₃=4．
所以q=2，所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）由（1）知$2n•{a_n}=n•{2^n}$，
所以${S_n}=1×2+2×{2^2}+…+n×{2^n}$，①$2•{S_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+（n-1）•{2^n}+n×{2^{n+1}}$，②
由①-②得$-{S_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$，
即$-{S_n}=\frac{{2-{2^n}•2}}{1-2}-n×{2^{n+1}}={2^{n+1}}-2-n×{2^{n+1}}=（{1-n}）{2^{n+1}}-2$，
所以${S_n}=2+（n-1）•{2^{n+1}}$．

点评 本题考查等比数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．