Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB=BC，E、F分别为棱AB，PC的中点，
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，求证：平面PAC⊥平面PDE。

Answer 1

证明：（Ⅰ）取线段PD的中点M，连接FM，AM， 因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且， 因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点， 所以EA∥CD，且， 所以FM∥EA，且FM=EA， 所以四边形AEFM为平行四边形， 所以EF∥AM， 又AM平面PAD，EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD。
（Ⅱ）设AC，DE相交于G， 在矩形ABCD中，因为， E为AB的中点，所以， 又∠DAE=∠CDA， 所以△DAE∽△CDA， 所以∠ADE=∠DCA， 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°， 所以∠DCA+∠CDE=90°， 由△DGC的内角和为180°， 得∠DGC=90°，即DE⊥AC， 因为点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上， 所以PO⊥平面ABCD， 因为DE平面ABCD， 所以PO⊥DE， 因为PO∩AC=O，PO，AC平面PAC， 所以DE⊥平面PAC， 又DE平面PDE， 所以平面PAC⊥平面PDE。