Question

19£®ÒÑÖªÏòÁ¿$\overrightarrow a£¬\overrightarrow b$Âú×ã$|{\overrightarrow a}|=1$£¬|$\overrightarrow{b}$|=1£¬|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|£¬k£¾0£®
  £¨1£©Çó$\overrightarrow{a}$Óë$\overrightarrow{b}$µÄ¼Ð½Ç¦ÈµÄ×î´óÖµ£»
£¨2£©Èô$\overrightarrow{a}$Óë$\overrightarrow{b}$¹²Ïߣ¬ÇóʵÊýkµÄÖµ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÀûÓÃÏòÁ¿µÄÄ££¬Æ½·½Õ¹¿ª£¬ÍƳöÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ý£¬È»ºóÇó½âÏòÁ¿µÄ¼Ð½ÇµÄ×î´óÖµ£®
£¨2£©Í¨¹ý$\overrightarrow a¡Î\overrightarrow b$£¬ËµÃ÷$\overrightarrow a$Óë$\overrightarrow b$¼Ð½ÇΪ0»ò¦Ð£¬ÀûÓÃÊýÁ¿»ýÁгö·½³ÌÇó½â¼´¿É£®

½â´ð ½â£º£¨1£©$|k\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{3}|\overrightarrow a-k\overrightarrow b|⇒{£¨k\overrightarrow a+\overrightarrow b£©^2}=3{£¨\overrightarrow a-k\overrightarrow b£©^2}$
¼´¡à${k^2}{\overrightarrow a^2}+2k\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=3{\overrightarrow a^2}-6k\overrightarrow a•\overrightarrow b+3{k^2}{\overrightarrow b^2}⇒\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{{{k^2}+1}}{4k}$¡­..£¨3·Ö£©
¡ß$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{4}£¨k+\frac{1}{k}£©¡Ý\frac{1}{2}$£¬µ±ÇÒ½öµ±$k=\frac{1}{k}$ÇÒk£¾0¼´k=1ʱµÈºÅ³ÉÁ¢¡­..£¨5·Ö£©
´Ëʱ$cos¦È=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\overrightarrow a•\overrightarrow b¡Ý\frac{1}{2}$ÓÖy=cos¦ÈÔÚ[0£¬¦Ð]Éϵ¥µ÷µÝ¼õ£¬´Ó¶ø${¦È_{max}}=\frac{¦Ð}{3}$¡­£®£¨7·Ö£©
£¨2£©¡ß$\overrightarrow a¡Î\overrightarrow b$£¬¡à$\overrightarrow a$Óë$\overrightarrow b$¼Ð½ÇΪ0»ò¦Ð£¬$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cos¦È=¡À1⇒|\frac{{{k^2}+1}}{4k}|=1$¡­£¨10·Ö£©
ÓÖ¡ßk£¾0£¬¡à${k^2}+1=4k⇒k=2¡À\sqrt{3}$¡­£¨12·Ö£©

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ýµÄÓ¦Óã¬ÏòÁ¿µÄÄ£ÒÔ¼°ÏòÁ¿µÄ¼Ð½ÇµÄÇ󷨣¬¿¼²é¼ÆËãÄÜÁ¦£®