Question

【题目】已知A，B，C为锐角△ABC的内角， =（sinA，sinBsinC）， =（1，﹣2）， ⊥ ．
（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；
（2）求tanAtanBtanC的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意有sinA=2sinBsinC．

在△ABC中，A=π﹣B﹣C，

所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．

因为△ABC为锐角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，

所以tanB+tanC=2tanBtanC，

所以tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．

（2）解：在锐角△ABC中，

tanA=tan（π﹣B﹣C）=﹣tan（B+C）=﹣ ，

即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，

由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，

于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥ ，

整理得tanAtanBtanC≥8，

当且仅当tanA=4时取等号，

故tanAtanBtanC的最小值为8．

【解析】（1）依题意有sinA=2sinBsinC，从而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC＞0，能推导出tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．（2）推导出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC的最小值为8．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识，掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直．