Question

【题目】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）
（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得

y=（560+48x）+ =560+48x+ （x≥10，x∈N*）；

（2）解：法一：∵x＞0，∴48x+ ≥2 =1440，

当且仅当48x= ，即x=15时取到“=”，

此时，平均综合费用的最小值为560+1440=2000元．

答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．

法二：先考虑函数y=560+48x+ （x≥10，x∈R）；

则y'=48﹣ ，令y'=0，即48﹣ =0，解得x=15，

当0＜x＜15时，y'＜0；当x＞15时，y'＞0，又15∈N*，

因此，当x=15时，y取得最小值，ymin=2000元．

答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元

【解析】（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和，由已知中某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，我们有两种思路，一是利用基本不等式，二是使用导数法，分析函数的单调性，再求最小值．