Question

以正四棱台（底面为正方形，各个侧面均为全等的等腰梯形）为模型，验证棱台的平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为S₁，下底面面积为S₂，平行于底面的截面将棱台的高分成上、下比为m：n的两段，则截面面积S满足下列关系：

S

=

m S2 +n S1

m+n

，当m=n时，则

S

=

S1+ S2

2

（中截面面积公式）．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,棱台的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：本题考查的是棱台的截面面积问题．在解答时，首先要考虑好相似比与面积比的关系，然后利用还台为锥的思想充分利用里边的相似关系即可获得问题的解答．

解答： 解：验证如下：由题意可知：设还台为锥后以棱台的上底面为底面的棱柱的高与截面截得的上半段高的比为x：m，
则由相似关系可知：

x

m+n+x

=

S1

S2

，
∴x=

(m+n) S1

S2 - S1

，
又因为：

m

x+m

=

S1

S

，
∴

(m+n) S1 S2 - S1

(m+n) S1 S2 - S1 +m

=

S1

S

，
解得：S=(

m S2 +n S1

m+n

)2．
可得

S

=

m S2 +n S1

m+n

，
当m=n时，

S

=

S1+ S2

2

．

点评：本题考查的是棱台的截面面积问题．在解答的过程当中充分体现了面积比是相似比的平方的知识、还台为锥的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．