Question

20．若a，b∈R⁺，且a＞b，则a+$\frac{1}{（a-b）b}$≥3．

Answer 1

分析 先由基本不等式可得（a-b）b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，可得a+$\frac{1}{（a-b）b}$≥a+$\frac{4}{{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$，再由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b∈R⁺，且a＞b，∴a-b＞0，
∴（a-b）b≤$（\frac{a-b+b}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a+$\frac{1}{（a-b）b}$≥a+$\frac{4}{{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}$=3
当且仅当a-b=b且$\frac{a}{2}$=$\frac{4}{{a}^{2}}$即a=2且b=1时取等号
故答案为：3．

点评 本题考查基本不等式求最值，连续利用基本不等式并注意等号成立的条件是解决问题的关键，属中档题．