Question

若数列{A_n}中a₁，a₂，…a_n满足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），则称{A_n}为E数列，记S（A_n）=a₁+a₂+…a_n．
（1）写出一个E数列{A_n}满足a₁=a₉=0且S（A₉）＜0；
（2）若a₁=2，且E数列{A_n}是递增数列，数列{b_n}中，b_n=

1

an•an+1

，数列{b_n}的前n项和为S_n．求证：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）取a₁=a₃=a₅=a₇=a₉=0，a₂=a₄=a₆=a₈=-1，满足条件．
（2）由a₁=2，且E数列{A_n}是递增数列，满足|a_k+1-a_k|=1，可得a_n=n+1．b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）取a₁=a₃=a₅=a₇=a₉=0，a₂=a₄=a₆=a₈=-1，满足a₁=a₉=0且S（A₉）＜0；
（2）∵a₁=2，且E数列{A_n}是递增数列，满足|a_k+1-a_k|=1，
则a_n=n+1．
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，
∴S_n≤1-

1

2

=

1

2

．

点评：本题考查了新定义“E数列”、单调数列、“裂项求和”、不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．