Question

已知函数f(x)=2cosxcos(x-

π

6

)-

3

sin2x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期
（2）当x∈[0，π]时，若f（x）=1，求x的值．

Answer 1

分析：把函数解析式第一项的第二个因式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，去括号合并后，再根据二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

即可求出函数的最小正周期；
（2）令化简后的解析式等于1，得到sin（2x+

π

3

）的值，根据x的范围，求出2x+

π

3

的范围，利用正弦函数的图象与性质及特殊角的三角函数值列出关于x的方程，求出方程的解得到此时x的值．

解答：解：f(x)=2cosxcos(x-

π

6

)-

3

sin2x+sinxcosx
=2cosx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=

3

cos2x+sin2x
=2（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）
=2sin（2x+

π

3

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=1，即2sin（2x+

π

3

）=1，
∴sin（2x+

π

3

）=

1

2

，
又x∈[0，π]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]，
∴2x+

π

3

=

5π

6

或2x+

π

3

=

13π

6

，
解得：x=

π

4

或

11

12

π．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，把函数解析式利用三角函数的恒等变形为一个角的正弦函数是解本题的关键．