Question

已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）若k=e，求函数f（x）的极值；
（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；
（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（-∞，4]上的零点个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）将k=e代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析函数的单调性，可得函数的极值．
（2）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．
（3）解法一：根据（2）中函数的单调性分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．
解法二：根据函数的导函数，分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时，函数y=e^x与y=kx图象交点的个数（即函数零点的个数），最后综合讨论结果，可得答案．
解答：解：（1）由k=e得f（x）=e^x-ex，
所以f'（x）=e^x-e．                 
令f′（x）=0，得e^x-e=0，解得x=1．
由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

…（2分）
所以当x=1时，f（x）有极小值为0，无极大值．                            …（3分）
（2）由f（x）=e^x-kx，x∈R，得f'（x）=e^x-k．
①当k≤0时，则f'（x）=e^x-k＞0对x∈R恒成立，
此时f（x）的单调递增，递增区间为（-∞，+∞）．                            …（4分）
②当k＞0时，
由f'（x）=e^x-k＞0，得到x＞lnk，
由f'（x）=e^x-k＜0，得到x＜lnk，
所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（-∞，lnk）． …（6分）
综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（-∞，lnk）． …（7分）
（3）解法一：
①当k=0时，f（x）=e^x＞0，对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（-∞，4]上无零点．…（8分）
②当k＜0时，由（2）知，f'（x）=e^x-k＞0对x∈R恒成立，函数f（x）在（-∞，4]上单调递增，
又f（0）=1＞0，，…（9分）
所以函数f（x）在（-∞，4]上只有一个零点．                     …（10分）
③当k＞0时，令f'（x）=e^x-k=0，
得x=lnk，且f（x）在（-∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，
即f（x）在（-∞，4]上最多存在两个零点．
（ⅰ）若函数f（x）在（-∞，4]上有2个零点，
则，
解得；…（11分）
（ⅱ）若函数f（x）在（-∞，4]上有1个零点，
则f（4）＜0或，
解得或k=e；                                                               …（12分）
（ⅲ）若函数f（x）在（-∞，4]上没有零点，
则或f（lnk）=k（1-lnk）＞0，
解得k∈（0，e）．                                                        …（13分）
综上所述，当时，f（x）在（-∞，4]上有2个零点；
当或k=e时，f（x）在（-∞，4]上有1个零点；
当k∈[0，e）时，f（x）在（-∞，4]上无零点．                   …（14分）
解法二：∵f（x）=e^x-kx，x∈R．
当k=0时，f（x）=e^x＞0对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（-∞，4]上无零点．…（8分）
当k≠0时，f（x）=e^x-kx在（-∞，4]上的零点就
是方程e^x=kx在（-∞，4]上的解，即函数y=e^x
与y=kx在（-∞，4]上的交点的横坐标．   …（9分）

①当k＜0时，如图1，函数y=e^x与y=kx只在（-∞，0）上
有一个交点，即函数f（x）在（-∞，4]上有一个零点．                        …（10分）
②当k＞0时，
若y=e^x与y=kx相切时，
如图2，设切点坐标为，则，
即切线的斜率是，
所以，
解得x=1＜4，
即当k=e时，y=e^x与y=kx只有一个交点，
函数f（x）在（-∞，4]上只有一个零点x=1；…（11分）
由此，还可以知道，当0＜k＜e时，函数f（x）在（-∞，4]上无零点．         …（12分）
当y=kx过点（4，e⁴）时，如图3，，
所以时，y=e^x与y=kx在（-∞，4]上
有两个交点，即函数f（x）在（-∞，4]上有两个零点；
时，y=e^x与y=kx在（-∞，4]上只有一个
交点，即函数f（x）在（-∞，4]上只有一个零点．                            …（13分）
综上所述，当时，函数f（x）在（-∞，4]上有2个零点；
当或k=e时，函数f（x）在（-∞，4]上有1个零点；
当k∈[0，e）时，函数f（x）在（-∞，4]上无零点．                …（14分）
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，根的存在性及根的个数判断，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，特别是第（3）中分类比较复杂，难度较大．