Question

12．设x∈（0，π），若$\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}=2\sqrt{2}$，则$sin（2x+\frac{π}{3}）$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，求出x的值，再代人$sin（2x+\frac{π}{3}）$中，即可求出结果．

解答 解：∵x∈（0，π），且$\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}=2\sqrt{2}$，
∴$\frac{sinx+cosx}{sinxcosx}$=2$\sqrt{2}$，
即sinx+cosx=2$\sqrt{2}$sinxcosx，
两边平方得1+2sinxcosx=8sin²xcos²x，
即1+sin2x=2sin²2x，
解得sin2x=1或sin2x=-$\frac{1}{2}$（不合题意，舍去）；
当sin2x=1时，2x=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{4}$，
∴$sin（2x+\frac{π}{3}）$=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值运算问题，是基础题目．