Question

【题目】已知函数（， ），（），且在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；

（Ⅲ）设（）为两曲线（），的交点，且两曲线在交点处的切线分别为， .若取，试判断当直线， 与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）或.（3）， 能与轴围成等腰三角形时， 值的个数有2个.

【解析】试题分析：

(1)利用导函数与切线的关系可得， .

(2)构造函数；结合导函数的性质分类讨论可得的取值范围是或.

(3) 设两切线， 的倾斜角分别为， ，分类讨论可得， 能与轴围成等腰三角形时， 值的个数有2个.

试题解析：

解：（Ⅰ） ， ，又， ， .

（Ⅱ）；

由得， 或.

，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点.

若，即，当时；当时，函数有极大值点，

若，即，当时；当时，函数有极大值点，

综上， 的取值范围是或.

（Ⅲ）当时，设两切线， 的倾斜角分别为， ，

则， ， ， ， 均为锐角，

当，即时，若直线， 能与轴围成等腰三角形，则；

当，即时，若直线， 能与轴围成等腰三角形，则.

由得， ，得，

即，此方程有唯一解 ， ， 能与轴围成一个等腰三角形.

由得， ，得，即，

设， ，

当时， ， 在单调递增，则在单调递增，

由于，且，所以，则，

即方程在有唯一解，直线， 能与轴围成一个等腰三角形.

因此，当时，有两处符合题意，所以， 能与轴围成等腰三角形时， 值的个数有2个.