练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
    （1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
    （2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．

    解：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-=，
    当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
    当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．
    ∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；
    （2）∵f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，
    ∴ax-lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立，
    令，x∈（0，e]，
    则，
    令g′（x）=0，则，
    当时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，
    当时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，
    ∴，
    ∴a≥e2，即a的取值范围为a≥e2．
    分析：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到单调区间，由单调性即可得到极值；
    （2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，问题转化为求函数，x∈（0，e]的最大值，利用导数即可求得；
    点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1），
    （1）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
    （2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
    （3）当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为
    103
    ，求此时a的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=ax+b（a＞0且a≠1，b为常数）的图象经过点（1，1）且0＜f（0）＜1，记m=
    1
    2
    [f-1(x1)+f-1(x2)]    ，n=f-1(
    x1+x2
    2
    )    （x1、x2是两个不相等的正实数），试比较m、n的大小．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知f（x）=ax+a-x，若f（1）=3，，求f（2）的值．
    （2）设函数f(x)=log3(ax-bx)，且f（1）=1，f（2）=log312．求a，b的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=ax（a＞1），g（x）=bx（b＞1），当f（x1）=g（x2）=2时，有x1＞x2，则a，b的大小关系是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•新疆模拟）已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=
    lnx
    x
    ，其中e是自然对数的底，a∈R．
    （Ⅰ）a=1时，求f（x）的单调区间、极值；
    （Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由；
    （Ⅲ）在（1）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案