Question

5．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=x²-2x；
（2）f（x）=x³+$\frac{1}{x}$；
（3）f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$；
（4）f（x）=2-|x|；
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x-3（x＜0）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x；
∴f（1）=-1，f（-1）=1+2=3，
则f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）f（x）=x³+$\frac{1}{x}$的定义域为{x|x≠0}；
则f（-x）=-x³-$\frac{1}{x}$=-（x³+$\frac{1}{x}$）=-f（x），则函数f（x）为奇函数．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，得x²=1，x=±1，即函数的定义域为{-1，1}，
此时f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=0，则函数f（x）为既是奇函数也是偶函数；
（4）f（x）=2-|x|；则f（-x）=2-|x|=f（x），则函数f（x）为偶函数；
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x-3（x＜0）}\end{array}\right.$．
当x＞0，则-x＜0，则f（-x）=-x²+2x-3=-（x²-2x+3）=-f（x），
当x＜0，则-x＞0，则f（-x）=x²+2x+3=-（-x²-2x-3）=-f（x），
综上f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．注意函数定义域的对称性．