Question

【题目】已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）圆的方程可化为，由此能求出圆心为，半径为4，设，则， ，由题设知，由此能求出的轨迹方程；（2）由（1）知的轨迹是以点为圆心， 为半径的圆，由于，故在线段的垂直平分线上，由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出的面积.

试题解析：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则， ，由题设知，

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2，由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心， 为半径的圆，由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM，因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为，又，O到的距离为，所以，所以△POM的面积为.