Question

10．如图：在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知∠B=$\frac{π}{4}$，BC=3
（1）若△BCD为锐角三角形，DC=$\sqrt{6}$，求角A的大小；
（2）若△BCD的面积为$\frac{3}{2}$，求边AB的长．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求$sin∠CDB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合△BCD为锐角三角形，可求∠CDB，进而可求∠ADC的值，又DA=DC，利用等腰三角形的性质即可得解∠A的值．
（2）利用三角形面积公式可求BD的值，利用余弦定理可求得CD的值，进而可求AB=CD+BD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为：在△BCD中，由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠CDB}=\frac{CD}{{sin{{45}^0}}}$，
所以：$sin∠CDB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又因为：△BCD为锐角三角形，
所以：∠CDB=60°，
所以：∠ADC=120°，DA=DC，
所以：∠A=∠ACD=30°，∠A=30°．…（5分）
（2）因为：${S_{△BCD}}=\frac{3}{2}$，
所以：$\frac{1}{2}×BD×BCsin{45^0}=\frac{3}{2}$，
所以：$BD=\sqrt{2}$，
在△BCD中由余弦定理得：CD²=BD²+BC²-2BD×BCcos∠B=2+9-6=5，
所以：$CD=\sqrt{5}$，
所以：$AB=AD+BD=CD+BD=\sqrt{5}+\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的性质，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．