Question

15．对数列{a_n}前n项和为S_n，a_n＞0（n=1，2，…），a₁=a₂=1，且对n≥2有（a₁+a₂+…+a_n）a_n=（a₁+a₂+…+a_n-1）a_n+1，则S₁S₂+S₂S₃+S₃S₄+…+S_n-1S_n=$\frac{{{2^{2n-1}}-2}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得S_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，再根据递推公式得到a_n²=a_n+1a_n-1，继而得到a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，再求出前n项和，再根据求和公式求出答案．

解答 解：∵（a₁+a₂+…+a_n）a_n=（a₁+a₂+…+a_n-1）a_n+1=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n-a_n）a_n+1=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）a_n+1-a_na_n+1，
∴a_na_n+1=（a₁+a₂+…+a_n）（a_n+1-a_n），
当n=2时，a₂a₃=（a₁+a₂）（a₃-a₂），
∴a₃=2，
∴S_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，
∴S_n-1=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，n≥3，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，
整理得a_n²=a_n+1a_n-1，
∴数列{a_n}从第3项开始为等比数列，
当n=3时，a₃²=a₄a₂，∴a₄=4，
∴q=$\frac{4}{2}$=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$
当n≥2时，S_n=1+$\frac{1•（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2^n-1，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$
当n≥2时，S_n•S_n-1=2^n-12^n-2=2^2n-3，
∴S₁S₂+S₂S₃+S₃S₄+…+S_n-1S_n=2¹+2^3-+2⁵+…+2^2n-3=$\frac{2（1-{2}^{2n-3}）}{1-4}$=$\frac{{2}^{2n-1}-2}{3}$
故答案为：$\frac{{{2^{2n-1}}-2}}{3}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和等比数列的通项公式和前n项和公式，考查了分析问题解决问题的，以及运算能力，属于难题．