Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由图象相邻的最高点和最低点的横坐标之差可求最小正周期，最高点纵坐标可求得振幅，将最高点代入解析式中求初相ϕ，可得函数的解析式
（2）正弦函数的单调增区间为$[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$，所以可令$2kπ-\frac{π}{2}≤ωx+ϕ≤2kπ+\frac{π}{2}$，由此解出x的范围，即为要求的f（x）的单调增区间．
（3）由（2）结合x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，可得函数f（x）在[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的单调减区间．

解答 解：（1）由题意知：$A=2，T=2×（{\frac{3π}{8}+\frac{π}{8}}）=π$，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又$2sin[2×（{-\frac{π}{8}}）+φ]=2$，∴$φ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），$φ=\frac{3π}{4}+2kπ$（k∈Z），又|φ|＜π，∴$φ=\frac{3π}{4}$．
∴函数f（x）的解析式：$f（x）=2sin（2x+\frac{3π}{4}）$．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{3π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，得$kπ-\frac{5π}{8}≤x≤kπ-\frac{π}{8}$，
所以f（x）的增区间为$[kπ-\frac{5π}{8}，kπ-\frac{π}{8}]$，k∈Z．
（3）再根据x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，可得函数f（x）在[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的单调减区间为[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，属于基础题．