Question

13．设a、b、c依次是△ABC的角A、B、C所对的边，若$\frac{sinA•sinB}{sinC}$=$\frac{sinC}{cosC}$，且a²+b²=mc²，则m=3．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知等式可得c²=abcosC，又由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，结合a²+b²=mc²，即可解得m的值．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，可得：sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
又∵$\frac{sinA•sinB}{sinC}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
∴$\frac{\frac{a}{2R}•\frac{b}{2R}}{\frac{c}{2R}}$=$\frac{\frac{c}{2R}}{cosC}$，整理可得：c²=abcosC，
又∵由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，且a²+b²=mc²，
∴c²=mc²-2c²，解得：3c²=mc²，
∴m=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．