Question

18．求和：S_n=$\frac{1}{1×5}$+$\frac{1}{3×7}$+$\frac{1}{5×9}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$．

Answer 1

分析 根据题意，分析所给数列的通项可得a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$），将其代入S_n中可得S_n的值．

解答 解：S_n=$\frac{1}{1×5}$+$\frac{1}{3×7}$+$\frac{1}{5×9}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$，
=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]，
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$]，
=$\frac{n（4n+5）}{3（2n+1）（2n+3）}$．
∴S_n=$\frac{n（4n+5）}{3（2n+1）（2n+3）}$．

点评 本题考查裂项法求数列的前n项和，解题的关键是分析所给数列的通项特点，寻求解题的突破，属于中档题．