Question

5．在平面直角坐标系中xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转$\frac{π}{3}$，交单位圆于点B，过点B作BC⊥y轴于C，
（1）若点A的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求B点的横坐标；
（2）求△AOC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先分别表示出A，B的坐标，求得sinα的值，进而求得α，则B的横坐标可求．
（2）分别表示出|OA|，|OC|和∠AOC，利用三角形面积公式表示出S，利用两角和公式化简，根据α的范围确定S的最大值．

解答 解：（1）由定义得，A（cosα，sinα），
B（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），
依题意知sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
所以α=$\frac{π}{3}$，
所以点B的横坐标为：cos（α+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
（2）∵|OA|=1，|OC|=sin（α+$\frac{π}{3}$），∠AOC=$\frac{π}{2}$-α，
∴S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OC|sin∠AOC
=$\frac{1}{2}$sin（α+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{2}$-α）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）cosα
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sinαcosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²α）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$
=$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴（2α+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$），
∴当2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，即α=$\frac{π}{4}$时，sin（2α+$\frac{π}{3}$）取最大值$\frac{1}{2}$，
∴S的最大值为$\frac{1+\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查了三角函数的定义，最值，两角和与差的三角公式，二倍角公式三角函数的恒等变换等．考查了运算求解能力，数形结合思想，转化与化归思想的运用，属于中档题．