Question

已知点列B₁(1，y₁)、B₂(2，y₂)、…、B_n(n，y_n)(n∈N₊)顺次为一次函数y＝x＋图像上的点，点列A₁(x₁，0)、A₂(x₂，0)、…、(n∈N₊)顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁＝a(0＜a＜1)，对于任意n∈N₊，点构成一个顶角的顶点为B_n的等腰三角形．

(1)求数列{y_n}的通项公式，并证明{y_n}是等差数列；

(2)证明为常数，并求出数列{x_n}的通项公式；

(3)在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)(nÎ N)，∵，∴{}为等差数列

　　(2)因为与为等腰三角形．

　　所以，两式相减得．

　　∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n－1及x₂，x₄，x₆，…，x_2n都是公差为2的等差数列，

　　∴

　　(3)要使A_nB_nA_n+1为直角三角形，则|A_nA_n+1|＝2＝2()Þ x_n+1－x_n＝2()

　　①当n为奇数时，x_n+1＝n＋1－a，x_n＝n＋a－1，∴x_n+1－x_n＝2(1－a)．

　　Þ 2(1－a)＝2()Þ a＝(n为奇数，0＜a＜1)(*)

　　取n＝1，得a＝，取n＝3，得a＝，若n≥5，则(*)无解；

　　②当n为偶数时，x_n+1＝n＋a，x_n＝n－a，∴x_n+1－x_n＝2a．

　　∴2a＝2()Þ a＝(n为偶数，0＜a＜1)(*¢ )，

　　取n＝2，得a＝，若n≥4，则(*¢ )无解．

　　综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、．