【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,
,过点
作平面
的垂线,垂足为
与
的交点
,
是线段
的中点.
(1)求证:DE//平面;
(2)若四棱锥的体积为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点
,根据中位线定理可知
且
,根据题意可得
且
,进一步可知
,然后根据线面平行的判定定理,可得结果.
(2)根据四棱锥的体积,可得
,通过建立空间直角坐标系,求得
,并得到平面
的一个法向量,然后简单计算,可得结果.
证明:(1)取的中点
,分别连接
,
如图
因为是
的中点,
是
的中点,
所以是
的中位线,
所以且
.
在平面内
,
知,
,
又,
,所以
//
,且
.
所以四边形是平行四边形,
所以,又
平面
,
平面
,
所以平面
;
(2)以点为原点,以平行于
的直线为
轴,
以平行于的直线为
轴,以直线
为
轴,
建立如下图所示的空间直角坐标系.
设点,则
,
.
所以有点.
因为四棱锥的体积为
,
所以,解得
,则
.
又为
中点知,则点
坐标为
.
又点的坐标是
,所以
.
平面的一个法向量
.
设直线与平面
所成角为
,
则.
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【题目】2019年4月10日21时整,全球六地(上海和台北、布鲁塞尔、圣地亚哥、东京和华盛顿同时召开新闻发布会,宣布人类首次利用虚拟射电望远镜,成功捕获世界上首张黑洞图像,公布的照片展示了一个中心为黑色的明亮环状结构,看上去有点像个橙色的甜甜圈,其黑色部分是黑洞投下的“阴影”,明亮部分是绕黑洞高速旋转的吸积盘.某同学作了一张黑洞示意图,如图所示,由两个同心圆和半个同心圆环构成圆及圆环的半径从内到外依次为2,3,4,5个单位在图中随机任取一点,则该点取自阴影的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知圆锥的顶点为A,高和底面的半径相等,BE是底面圆的一条直径,点D为底面圆周上的一点,且∠ABD=60°,则异面直线AB与DE所成角的正弦值为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程;
(2)若直线l:y=kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,点M的直角坐标为(1,0),求△PMQ的面积.
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD,CD=SD,点M是SA的中点,AD//BC,∠ABC=90°,AB=ADBC=a.
(1)求证:平面MBD⊥平面SCD;
(2)若∠SDC=120°,求三棱锥C﹣MBD的体积.
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【题目】在正方体中,棱长为2,
分别为棱
的中点,
为底面正方形
内一点(含边界)且
与面
所成角的正切值为
,直线
与面
的交点为
,当
到
的距离最小时,则四面体
外接球的表面积为___________.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)将所得曲线C向右平移1个单位长度,再将曲线C上的所有点的横坐标变为原来的2倍,得到曲线,求曲线
上的点到直线l的距离的最大值.
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【题目】《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为和
的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形.该矩形长为
,宽为内接正方形的边长
.由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论,如图3.设
为斜边
的中点,作直角三角形
的内接正方形对角线
,过点
作
于点
,则下列推理正确的是( )
①由图1和图2面积相等得;
②由可得
;
③由可得
;
④由可得
.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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【题目】如图,设点是抛物线
的焦点,直线
与抛物线
相切于点
(点
位于第一象限),并与抛物线
的准线相交于点
.过点
且与直线
垂直的直线
交抛物线
于另一点
,交
轴于点
,连结
.
(1)证明:为等腰三角形;
(2)求面积的最小值.
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