Question

【题目】在正方体中，棱长为2，分别为棱的中点，为底面正方形内一点（含边界）且与面所成角的正切值为，直线与面的交点为，当到的距离最小时，则四面体外接球的表面积为___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据线面角的正切值确定M的轨迹，建立空间直角坐标系求出N的坐标，求出半径即可得解.

与面所成角的正切值为，

根据正方体性质可得：与面所成角就是

所以，所以M的轨迹为平面内以B为圆心，为半径的圆周上位于底面正方形内（含边界），圆周与线段BD交点为，

直线与面的交点为，当到的距离最小时，即点为与的交点，

以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴正方向建立空间之间坐标系如图所示：

设，

点为与的交点，所以，

，

解得，

所以，设四面体外接球球心O，，

所以O在过BD中点且垂直于平面ABCD的直线上，

设，

解得：，所以，

球的表面积为：.

故答案为：