【题目】对数列,规定
为数列
的一阶差分数列,其中
,规定
为
的二阶差分数列,其中
.
(1)数列的通项公式
,试判断
,
是否为等差数列,请说明理由?
(2)数列是公比为
的正项等比数列,且
,对于任意的
,都存在
,使得
,求
所有可能的取值构成的集合;
(3)各项均为正数的数列的前
项和为
,且
,对满足
,
的任意正整数
、
、
,都有
,且不等式
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1),
是等差数列,见解析(2)
;(3)2
【解析】
(1)根据题干中的定义,结合等差数列的定义即可判断.
(2)根据等比数列的通项公式可得,结合题干可得
,从而可得
,且
;分类讨论
、
或
即可求出
.
(3)根据题中对数列的定义可得,从而可得
,即
是等差数列,根据数列为正项等差数列可得
,代入等差数列前
项和公式,由
,可得
,当
时,不等式
都成立;当
时,令
,
,代入等差数列的前
项和公式,作差
,由
,
,即可求解.
解:(1)因为,所以
,
则,又
,所以
是首项为3,公差为2的等差数列.
因为,则
是首项为2,公差为0的等差数列.
(2)因为数列是公比为
的正项等比数列,所以
.
又,
且对任意的,都存在
,使得
,
所以对任意的,都存在
,使得
,
即,因为
,所以
.
若
,则
,解得
(舍)或
,
即当时,对任意的
,都有
.
若
,则
,解得
(舍)或
,
即当时,对任意的
,都有
.
若
,则
,
故对任意的,不存在
,使得
.
综上所述,所有可能的取值构成的集合为
;
(3)因为,所以
,
则,所以
是等差数列.
设的公差为
,则
.
若,则
;
若,则当
时,
,
与数列的各项均为正数矛盾,故
.
由等差数列前项和公式可得
,
所以,
,
又,
,
所以,
则当时,不等式
都成立.
另一方面,当时,令
,
,
则,
,
则
,
因为,
,
所以当时,
,即
.不满足任意性.
所以 .
综上,的最大值为2.
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【题目】2020年春,新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延,病毒传染性强并严重危害人民生命安全,国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离,为支援湖北武汉新型冠状病毒疫情防控工作,各地医护人员纷纷逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响,由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品,记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价,得到下面的2×2列联表.
特别满意 | 基本满意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被调查的男性居民中有5个年轻人,其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意,现在这5名年轻人中随机抽取3人,求至多有1人特别满意的概率.
(2)能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异?
附:
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程;
(2)若直线l:y=kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,点M的直角坐标为(1,0),求△PMQ的面积.
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【题目】在正方体中,棱长为2,
分别为棱
的中点,
为底面正方形
内一点(含边界)且
与面
所成角的正切值为
,直线
与面
的交点为
,当
到
的距离最小时,则四面体
外接球的表面积为___________.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)将所得曲线C向右平移1个单位长度,再将曲线C上的所有点的横坐标变为原来的2倍,得到曲线,求曲线
上的点到直线l的距离的最大值.
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【题目】《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为和
的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形.该矩形长为
,宽为内接正方形的边长
.由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论,如图3.设
为斜边
的中点,作直角三角形
的内接正方形对角线
,过点
作
于点
,则下列推理正确的是( )
①由图1和图2面积相等得;
②由可得
;
③由可得
;
④由可得
.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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【题目】下列结论中正确的个数是( )
①在中,“
”是“
”的必要不充分条件;
②若,
的最小值为2;
③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱;
④数列的通项公式为
,则数列的前
项和
.( )
A.0B.1C.2D.3
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