Question

（3分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ．

 

 

Answer 1

【解析】

试题分析：解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；

解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．

解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为

两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有

，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0

即e2+10e﹣3=0，解得

故答案为

解法二：对椭圆进行压缩变换，，，

椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．

延长TO交圆O于N，易知直线A1B2斜率为1，TM=MO=ON=1，，

设T（x′，y′），则，y′=x′+1，

由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，

（负值舍去），

易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：

令y′=0

，即F横坐标

即原椭圆的离心率e=．

故答案：．