Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA₁⊥AC₁，点A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题知A₁D⊥平面ABC，从而平面A₁ACC₁⊥平面ABC，又BC⊥AC，从而BC⊥AC₁，由此能证明AC₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．
（Ⅱ）法二：设A₁C∩AC₁=O，作OF⊥A₁B于F，连AF，则由AO⊥平面A₁BC，知AF⊥A₁B，∠AFO即是二面角A-A₁B-C的平面角，由此能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由题知A₁D⊥平面ABC，而A₁D?平面A₁ACC₁，
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC，…（2分）
又BC⊥AC，BC?平面ABC，
平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
所以BC⊥平面A₁ACC₁，故BC⊥AC₁，…（4分）
又AC₁⊥A₁B，BC、A₁B?平面A₁BC，BC∩A₁B=B，
所以AC₁⊥平面A₁BC．…（6分）
（Ⅱ）解法一：取AB中点E，连DE，
则由DE、DC、DA₁两两垂直，可如图建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）可知AC₁⊥平面A₁BC，故AC₁⊥A₁C，所以△A₁AC为等边三角形，
所以A1D=

3

，
故可得各点坐标分别为A(0 ， -1 ， 0) ， B(2 ， 1 ， 0) ， A1(0 ， 0 ， 

3

)，C(0 ， 1 ， 0) ， E(1 ， 0 ， 0) ， C1(0 ， 2 ， 

3

)…（9分）
所以

AB

=(2 ， 2 ， 0)，

A1A

=(0 ， -1 ， -

3

) ， 

AC1

=(0 ， 3 ， 

3

)
设

n

=(x ， y ， z)为平面A₁AB的法向量，
则由

n ⊥ AB n ⊥ A1A

，得

2x+2y=0    -y- 3 z=0

，
令x=3，则得

n

=(3 ， -3 ， 

3

)，…（10分）
又由（Ⅰ）知平面A₁BC的法向量为

AC1

=(0 ， 3 ， 

3

)，…（11分）
设所求二面角的大小为θ，则|cosθ|=|cos?

n

 ， 

AC1

＞|=

| n • AC1 |

| n |•| AC1 |

=

6

21 • 12

=

7

7

，…（13分）
因为该二面角为锐角，所以二面角A-A₁B-C的余弦值为

7

7

．…（14分）
（Ⅱ）解法二：设A₁C∩AC₁=O，作OF⊥A₁B于F，
连AF，则由AO⊥平面A₁BC，知AF⊥A₁B，
所以∠AFO即是二面角A-A₁B-C的平面角，…（10分）
得AO=

3

，OF=

1

2

A1C•BC

A1B

=

2×2

2 2

=

2

2

，…（11分）
所以tan∠AFO=

AO

OF

=

3

2 2

=

6

，…（13分）
从而二面角A-A₁B-C的余弦值为

7

7

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．