Question

（普通班学生做）在△ABC中，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC最大边的边长为

17

，求最小边的边长及△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数判断出AB为最大边，根据tanA与tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，同理求出sinB的值，利用正弦定理求出BC的长，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（1）∵C=π-（A+B），
∴tanC=-tan（A+B）=-

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=-1，
又∵0＜C＜π，
∴C=

3π

4

；
（2）∵C=

3π

4

，∴AB边最大，即AB=

17

，
又∵tanA＜tanB，A，B∈（0，

π

2

），
∴角A最小，BC边为最小边，
由

tanA= sinA cosA = 1 4 sin2A+cos2A=1

，且A∈（0，

π

2

），得sinA=

17

17

，
同理得到sinB=

3 34

34

，
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=

ABsinA

sinC

=

2

，
则S_△ABC=

1

2

AB•BC•sinB=

1

2

×

17

×2×

3 34

34

=

3 2

2

．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．