Question

已知集合A={x|

1

x-3

＜1}，B={x|-x²+x-m+m²≥0}，若满足A∪B=A，求实数m取值范围．

Answer 1

考点：并集及其运算

专题：集合

分析：求

1

x-3

＜1的解集即求出A，由-x²+x-m+m²≥0得（x-m）[x-（1-m）]≤0，求出两个集合B，由A∪B=A可得B⊆A，再根据子集的定义分别列出不等式，求出m的范围，最后把各个部分的结果并在一起．

解答： 解：由

1

x-3

＜1得，

4-x

x-3

＜0，则（x-3）（x-4）＞0，
解得x＞4或x＜3，∴A={x|x＞4或x＜3}，
由-x²+x-m+m²≥0得，x²-x+m-m²≤0，则（x-m）[x-（1-m）]≤0，
解得：m≤x≤1-m或1-m≤x≤m，
则B={x|m≤x≤1-m}或B={x|1-m≤x≤m}，
∵A∪B=A，∴B⊆A，
当B={x|m≤x≤1-m}时，有m＞1-m或

m≤1-m 1-m＜3

或

m≤1-m m＞4

，
解得m＞

1

2

或-2＜m≤

1

2

，即m＞-2；
当B={x|1-m≤x≤m}时，有1-m＞m或

1-m≤m m＜3

或

1-m≤m 1-m＞4

，
解得m＜

1

2

或

1

2

≤m＜3，即m＜3，
综上得，m＞-2或m＜3，即实数m取值范围是R．

点评：本题考查集合的并集的性质与运算，分式不等式的求解，一元二次不等式的求解问题，涉及集合中含参数的问题，以及分类讨论思想，关键是解不等式求出集合A、B，以及正确进行分类．